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Sturm-Liouville and Completeness Theory
테일러 전개나 FT (Fourier Transformation), FS (Fourier Series) 이 왜 가능할 수 있는지 이해하는데 필요한 이론. 특히나 왜 어느정도 전개한 다음 뒷부분을 무시해도 원래 함수를 그럴듯하게 묘사할 수 있는건지 이해하려면 필요.
Table of Contents
1.Sturm-Liouville theory
1.1.특수식 형태로의 변형
1.1.1.Harmonic : $\sin, \cos$
1.1.2.Bessel equation
1.1.3.Legendre equation
1.1.4.일반식 예제
1.2.Linear operations
1.3.Initial or Boundary condition
1.4.Self-adjointness (자기 수반성 : 自己 隨伴性)
1.5.Orthogonality (직교성 : 直交性)
1.6.고유치는 실수 (Reality of eigenvalue)
1.7.아벨의 정리 (Abel's theorem) : 함수 행렬식은 상수 (constant Wronskian)
1.8.해의 유일성 (uniqueness of solutions)
1.9.두번째 해 (the second solution)
1.10.레일리 몫 (Rayleigh quotient)
1.11.스투름의 분리 정리 (Sturm's separation theorem)
1.12.스투름의 비교 정리 (Sturm's comparison theorem)
1.13.스투름의 진동 정리 (Sturm's oscillation theorem)
2.고유함수의 완비성 (completeness of eigenfunctions)
Refs.References and Related Articles
T1.Sturm-Liouville theory
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T1.1.특수식 형태로의 변형
모든 2차 선형 상미분 방정식 (the second order linear ordinary differential equation) 의 해를 예측할 수 있는 스투름-리우빌 이론에 대해 알아보자.
일반적인 2차 선형 상미분 방정식 (the second order linear ordinary differential equation) 은 다음과 같이 표현 가능하다.
(1-1)
\[ \frac{d^2 y}{d x^2} + P(x) \frac{d y}{d x} + Q(x) y = 0 \]
이 식을 조금 다듬어서 다음과 같은 특수식 형태로 표현 해보자.
(1-2)
\[ \frac{d}{d x} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] - q(x) y + \lambda r(x) y = 0 \]
위 식을 전개해서 일반식
(1-1)
(1-1)
\[ \frac{d^2 y}{d x^2} + P(x) \frac{d y}{d x} + Q(x) y = 0 \]
(1-3)
\[ p(x) \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{d p}{d x} \frac{dy}{dx} - q(x) y + \lambda r(x) y = 0 \]
(1-4)
\[ p(x) \frac{d^2 y}{d x^2} + p(x) P(x) \frac{d y}{d x} + p(x) Q(x) y = 0 \]
결론적으로
(1-5)
\[ p(x) P(x) = \frac{d p}{d x} \]
(1-6)
\[ p(x) Q(x) = -q(x) + \lambda r(x) \]
즉,
(1-7)
\[ p(x) = e^{\int P(x) dx} \]
(1-8)
\[ -q(x) + \lambda r(x) = e^{\int P(x) dx} Q(x) \]
형태로 $p(x), q(x), r(x)$ 을 잡으면 특수식 형태로 나타날 수 있게 된다.
여기서 $r(x)$ 는 x 의 regine of interest 에서 항상 0 보다 큰 함수로 잡는다. 즉, $r(x) \geq 0$.
아래 예제들을 보면서 어떻게 2차 선형 상미분 방정식 (the second order linear ordinary differential equation) 을 특수식
(1-1)
(1-1)
\[ \frac{d^2 y}{d x^2} + P(x) \frac{d y}{d x} + Q(x) y = 0 \]
T1.1.1.Harmonic : $\sin, \cos$
(1-9)
\[ y'' = - \omega^2 y \]
을 변형하면,
(1-10)
\[ [ y' ]' + \omega^2 y = 0 \]
T1.1.2.Bessel equation
(1-11)
\[ x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0 \]
를 변형하면,
(1-12)
\[ (x y')' + (x - \frac{\nu^2}{x}) y = 0 \]
T1.2.Linear operations
미분연산이 linear operation 인 것 ($L (\alpha y_1 + \beta y_2) = \alpha L (y_1) + \beta L (y_2)$) 을 바탕으로 다음과 같은 형태로 식을 바라볼 수 있다.
(1-16)
\[ L (y) = \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] - q(x) y + \lambda r(x) y = 0 \]
(1-17)
\[ D (y) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] + q(x) y = \lambda r(x) y \]
where $\lambda$ is called eigenvalue.
또한 특정한 $\lambda_m$ 에 대한 함수를 $\psi_m$ 으로 정의하면,
(1-18)
\[ D (\psi_m) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{d\psi_m}{dx} \bigg] + q(x) \psi_m = \lambda_m r(x) \psi_m \]
과 같은 식을 만족한다.
T1.3.Initial or Boundary condition
(1-19)
\[ \begin{align*}
&\alpha y (a) + \alpha' \frac{d y}{d x} (a) = 0 \\
&\beta y (b) + \beta' \frac{d y}{d x} (b) = 0
\end{align*} \]
T1.4.Self-adjointness (자기 수반성 : 自己 隨伴性)
(1-20)
\[ \int_a^b \psi_m (x) D \psi_n (x) dx
= \int_a^b \psi_n (x) D \psi_m (x) dx \]
증명)
(1-17)
(1-17)
\[ D (y) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] + q(x) y = \lambda r(x) y \]
(1-21)
\[ \begin{align*}
&\psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x) \\
&= - \psi_m (x) \bigg[ \frac{d}{dx} \Big[ p(x) \frac{d \psi_n}{dx} \Big] \bigg]
+ \psi_n (x) \bigg[ \frac{d}{dx} \Big[ p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \Big] \bigg]
\end{align*} \]
미분의 분배법칙을 이용해서 더 정리하면,
(1-22)
\[ \begin{align*}
&= \frac{d}{dx} \bigg[ - \psi_m (x) p(x) \frac{d \psi_n}{dx} \bigg] + \frac{d \psi_m}{dx} p(x) \frac{d \psi_n}{dx} \\
&~~~+ \frac{d}{dx} \bigg[ \psi_n (x) p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \bigg] - \frac{d \psi_n}{dx} p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \\
&= \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \Big( \psi_n (x) \psi_{m}' (x) - \psi_m (x) \psi_{n}' (x) \Big) \bigg]
\end{align*} \]
Wronskian 을
(1-23)
\[ \begin{align*}
W [ \psi_n (x), \psi_m (x) ] &\equiv
\begin{vmatrix}
\psi_n (x) & \psi_m (x) \\
\psi'_n (x) & \psi'_m (x)
\end{vmatrix} \\
&= \psi_n (x) \psi_{m}' (x) - \psi_m (x) \psi_{n}' (x)
\end{align*} \]
과 같이 정의해서 쓰자면,
(1-24)
\[ \psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x)
= \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) W [ \psi_n (x) , \psi_m (x) ] \bigg] \]
즉,
(1-25)
\[ \begin{align*}
&\int_a^b \bigg[ \psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x) \bigg] dx \\
&= p(x) W [ \psi_n (x) , \psi_m (x) ] \bigg|_{a}^{b} \\
&= p(b) W [ \psi_n (b) , \psi_m (b) ] - p(a) W [ \psi_n (a) , \psi_m (a) ] = 0
\end{align*} \]
For non-trivial $(\alpha, \alpha')$ and $(\beta, \beta')$, Wronskian must be 0 at both boundaries. 따라서 식
(1-20)
(1-20)
\[ \int_a^b \psi_m (x) D \psi_n (x) dx
= \int_a^b \psi_n (x) D \psi_m (x) dx \]
T1.5.Orthogonality (직교성 : 直交性)
(1-26)
\[ \int_a^b \psi_m (x) \psi_n (x) r(x) dx = 0, \text{ when } m \neq n \]
증명) From
(1-17)
(1-17)
\[ D (y) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] + q(x) y = \lambda r(x) y \]
(1-20)
(1-20)
\[ \int_a^b \psi_m (x) D \psi_n (x) dx
= \int_a^b \psi_n (x) D \psi_m (x) dx \]
(1-27)
\[ \begin{align*}
&\int_a^b \psi_m (x) D \psi_n (x) dx
- \int_a^b \psi_n (x) D \psi_m (x) dx \\
&= \int_a^b \psi_m (x) \psi_n (x) r(x) (\lambda_n - \lambda_m) dx = 0
\end{align*} \]
따라서 \( \lambda_n \neq \lambda_m \) 일때에는
(1-28)
\[ \int_a^b \psi_m (x) \psi_n (x) r(x) dx = 0 \]
이어야 한다.
Fourier series 의 일반화가 Sturm-Lioville theory 라 할 수 있다.
T1.6.고유치는 실수 (Reality of eigenvalue)
(1-29)
\[ D( \psi_m ) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \bigg] + q(x) \psi_m (x) = \lambda r(x) \psi_m (x) \]
$D = D^*$ 이므로
(1-30)
\[ D^* ( \psi_m^* ) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{d \psi_m^*}{dx} \bigg] + q(x) \psi_m^* (x) = \lambda^* r(x) \psi_m^* (x) \]
따라서
(1-31)
\[ \begin{align*}
&\int_a^b \Big[ \psi_m^* D \psi_m - \psi_m D \psi_m^* \Big] dx \\
&= \int_a^b \Big[ |\psi_m|^2 \lambda_m r(x) - |\psi_m|^2 \lambda_m^* r(x) \Big] dx \\
&= \int_a^b |\psi_m|^2 r(x) (\lambda_m - \lambda_m^*)
\end{align*} \]
$r(x) \geq 0$ 이고, $|\psi_m|^2 > 0$ 이므로, $\lambda_m = \lambda_m^*$ 란 결론에 도달한다.
T1.7.아벨의 정리 (Abel's theorem) : 함수 행렬식은 상수 (constant Wronskian)
(1-32)
\[ p (x) W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \text{constant for } \lambda_m = \lambda_n \]
증명) 식
(1-24)
(1-24)
\[ \psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x)
= \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) W [ \psi_n (x) , \psi_m (x) ] \bigg] \]
(1-27)
(1-27)
\[ \begin{align*}
&\int_a^b \psi_m (x) D \psi_n (x) dx
- \int_a^b \psi_n (x) D \psi_m (x) dx \\
&= \int_a^b \psi_m (x) \psi_n (x) r(x) (\lambda_n - \lambda_m) dx = 0
\end{align*} \]
(1-33)
\[ \begin{align*}
&\psi_m (x) D \psi_n^* (x) - \psi_n^* (x) D \psi_m (x)
= \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) W [ \psi_n^* (x) , \psi_m (x) ] \bigg] \\
&= \psi_m (x) \lambda_n^* r(x) \psi_n^* (x) - \psi_n^* (x) \lambda_m r(x) \psi_m (x) \\
&= \psi_m (x) \psi_n^* (x) r(x) (\lambda_n^* - \lambda_m)
\end{align*} \]
고유치는 실수이므로 따라서 $\lambda_n = \lambda_m$ 일때에는 식
(1-32)
(1-32)
\[ p (x) W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \text{constant for } \lambda_m = \lambda_n \]
T1.8.해의 유일성 (uniqueness of solutions)
고유치가 동일하면 경계 조건을 만족하는 고유 함수들은 상수배만 차이난다.
증명) 동일한 고유치 $\lambda$ 에 대해 서로 다른 고유 함수 $\psi_m, \psi_n$ 이 존재한다고 가정하자. 고유치가 동일하기 때문에 식
(1-32)
(1-32)
\[ p (x) W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \text{constant for } \lambda_m = \lambda_n \]
(1-25)
(1-25)
\[ \begin{align*}
&\int_a^b \bigg[ \psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x) \bigg] dx \\
&= p(x) W [ \psi_n (x) , \psi_m (x) ] \bigg|_{a}^{b} \\
&= p(b) W [ \psi_n (b) , \psi_m (b) ] - p(a) W [ \psi_n (a) , \psi_m (a) ] = 0
\end{align*} \]
(1-34)
\[ p (x) W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \text{0 for } \lambda_m = \lambda_n \]
따라서
(1-35)
\[ \frac{\psi'_n (x)}{\psi_n (x)} = \frac{\psi'_m (x)}{\psi_m (x)} \]
결론적으론
(1-36)
\[ \psi_n (x) = c \cdot \psi_m (x) \]
임을 알 수 있다.
T1.9.두번째 해 (the second solution)
$\psi_m, \psi_n$ 의 경계조건이 같다면 위와같은 결론이 나오지만, 경계조건이 다르다면 따로
(1-32)
(1-32)
\[ p (x) W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \text{constant for } \lambda_m = \lambda_n \]
(1-37)
\[ \begin{align*}
&W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \frac{\text{constant}}{p (x)} \\
&\rightarrow \psi_m^2 (x) \bigg[ \frac{\psi'_n (x)}{\psi_m (x)} - \psi_n (x) \frac{\psi'_m (x)}{\psi_m^2} \bigg] = \psi_m^2 (x) \frac{d}{dx} \bigg[ \frac{\psi_n (x)}{\psi_m (x)} \bigg]
\end{align*} \]
(1-38)
\[ \psi_n (x) = \psi_m (x) \bigg[ \int_a^x \frac{dt}{p(t) \psi_m^2 (t)} + c \bigg] \]
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TRefs.References and Related Articles
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- Ref. [01] 전파거북이(EM turtle)'s blog - 스투름-리우빌 이론 (Sturm-Liouville theory), 2011-11-16
- Ref. [02] 전파거북이(EM turtle)'s blog - 고유함수의 완비성 (completeness of eigenfunctions), 2011-12-05
- Ref. [03] 전파거북이(EM turtle)'s blog - 푸리에 급수의 시작(Fourier series), 2012-07-29
- Ref. [04] 전파거북이(EM turtle)'s blog - 형보다 나은 아우: 푸리에 변환(Fourier transform), 2012-08-05
- Ref. [05] Wiki - Strum-Liouville Theory
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