중력하의 두 점 사이를 가장 빨리 이동하는 방법 (싸이클로이드)

# 중력하의 두 점 사이를 가장 빨리 이동하는 방법 (싸이클로이드) 중력하에서 어느 경로를 통해 이동하는 것이 두 점 사이를 가장 빨리 이동하게 할까? (The Brachistochrone Curve: The Problem of Quickest Descent Osaka Keidai Ronshu, Vol. 61, No. 6, March 2011, The Brachistochrone Curve: The Problem of Quickest Descent by Yutaka Nishiyama)

굴곡진 곳을 이동하는 구슬이 더 빠른것을 알 수 있다.

A와 B를 잇는 path 가 주어질테고 어떤 path 일때 가장 빨리 이동하는지를 최적화하면 된다. y=f(x) v=\sqrt{2gh} v = \sqrt{ (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 } T = \int dt = \int \frac{ \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2 } }{v} A 지점의 위치를 (0,0) 으로 잡으면, T = \int_0^D \frac{ \sqrt{ 1 + (df(x)/dx)^2 } }{\sqrt{- 2g f(x)}} dx \equiv \int_0^D h(x, f, \dot{f}) dx 와 같은 결과가 나오게 된다. 여기서 path variation 에 따른 T 를 minimize 하기 위해 Method of Lagrange multiplier 를 쓰면, \begin{align*} \delta T &= \int_0^D dx \bigg[ \frac{ \partial h(x) }{\partial f(x)} \delta f(x) + \frac{ \partial h(x) }{\partial \dot{f}(x)} \delta \dot{f}(x) \bigg] \\ &= \int_0^D dx \bigg[ \frac{ \partial h(x) }{\partial f(x)} - \frac{d}{dx} \frac{ \partial h(x) }{\partial \dot{f}(x)} \bigg] \delta f(x) = 0 \end{align*} 따라서 \begin{align*} &\frac{ \partial h(x) }{\partial f(x)} - \frac{d}{dx} \frac{ \partial h(x) }{\partial \dot{f}(x)} = 0 \\ &- \frac{h(x)}{2f(x)} \end{align*} ## RRA