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중력하의 두 점 사이를 가장 빨리 이동하는 방법 (싸이클로이드)
중력하에서 어느 경로를 통해 이동하는 것이 두 점 사이를 가장 빨리 이동하게 할까? (The Brachistochrone Curve: The Problem of Quickest Descent
[01]
)Ref. [01] Osaka Keidai Ronshu, Vol. 61, No. 6, March 2011, The Brachistochrone Curve: The Problem of Quickest Descent by Yutaka Nishiyama
Fig. (x-1): 굴곡진 곳을 이동하는 구슬이 더 빠른것을 알 수 있다.
A와 B를 잇는 path 가 주어질테고 어떤 path 일때 가장 빨리 이동하는지를 최적화하면 된다.
(x-1)
\[ y=f(x) \]
(x-2)
\[ v=\sqrt{2gh} \]
(x-3)
\[ v = \sqrt{ (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 } \]
(x-4)
\[ T = \int dt
= \int \frac{ \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2 } }{v} \]
A 지점의 위치를 (0,0) 으로 잡으면,
(x-5)
\[ T = \int_0^D \frac{ \sqrt{ 1 + (df(x)/dx)^2 } }{\sqrt{- 2g f(x)}} dx
\equiv \int_0^D h(x, f, \dot{f}) dx \]
와 같은 결과가 나오게 된다. 여기서 path variation 에 따른 T 를 minimize 하기 위해 Method of Lagrange multiplier 를 쓰면,
(x-6)
\[ \begin{align*}
\delta T &= \int_0^D dx \bigg[ \frac{ \partial h(x) }{\partial f(x)} \delta f(x) + \frac{ \partial h(x) }{\partial \dot{f}(x)} \delta \dot{f}(x) \bigg] \\
&= \int_0^D dx \bigg[ \frac{ \partial h(x) }{\partial f(x)} - \frac{d}{dx} \frac{ \partial h(x) }{\partial \dot{f}(x)} \bigg] \delta f(x) = 0
\end{align*} \]
따라서
(x-7)
\[ \begin{align*}
&\frac{ \partial h(x) }{\partial f(x)} - \frac{d}{dx} \frac{ \partial h(x) }{\partial \dot{f}(x)} = 0 \\
&- \frac{h(x)}{2f(x)}
\end{align*} \]
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- Ref. [01] Osaka Keidai Ronshu, Vol. 61, No. 6, March 2011, The Brachistochrone Curve: The Problem of Quickest Descent by Yutaka Nishiyama
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