텐서(Tensor)와 상대론(Relativity) - 1. 상대론(Relativity)

by kipid
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  • 2014-02-13: First Posting.

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Introduction

$E = \gamma m c^2$
우선 상대론을 이론적으로 배우기 위해서는 tensor란 무엇인지 명확히 알고 진행해야 한다. 복잡하게 수식 들어간 것은 싫고 적당히 상대론이 어떤 이론인지만 알고 싶다고 하더라도 '텐서(Tensor)와 상대론(Relativity) - 0. 텐서(Tensor)란?'의 글부분만이라도 대충 읽고오면 도움이 될 듯 하다. 다시 중복해서 설명을 하긴 하겠지만, 어느정도는 이전 글에서 다뤘던 내용을 바탕으로 진행을 해 나갈테니.
3차원에서의 tensor를 설명하면서 Cartesian coordinate를 기준으로 잡고 진행했었다. 이것의 정당성을 부여하기위해 던졌던 질문들과 마찬가지로 우리가 직관적으로 당연하다고 생각되었던 것들에 대해 조금더 엄밀히 접근할 필요가 있다. '힘을 받지 않는 물체가 직선운동을 하는 것인가? 아니면 힘을 받지 않는 물체가 운동하는 궤적을 직선이라고 정의한 것인가?'와 같은 질문들을 몇 개 더 던져보자.
다시 우주 공간상으로 가서 내가, 힘이 무엇인지 정확히는 몰라도, 힘이란걸 받고 있지 않다고 하자. 나는 정지해 있는걸까? 내 옆으로 누가 지나간다. 이 사람을 B, 나를 A라고 칭하자. 내가, 즉 A가 움직이고 있는걸까? 아니면 B가 움직이고 있는걸까? 움직인다는건 무엇을 말하는걸까?
나는 시계를 가지고 있다. 이 시계는 어떤 원리로 째깍째깍 지구에서 태양이 뜨고지는 동안 24시간이란게 지나갈까? 1초란건 과학적으로 어떻게 정의해 놓았을까? 어떤것을 기준으로 잡고 있을까? 또한 거리 1미터라는 건 대체 어떻게 정의했고 어떤것을 기준으로 잡았을까? 과연 이 시간과 거리는 어떻게 정의해야만 하는 것일까?
가장 최근의 이런 시간과 거리에 대한 정의들, 기준들은 'SI 및 cgs 단위계, 물리상수'를 찾아보도록 하고 대충 그럴듯한 시간 1초와 1미터의 기준을 잡고 생각실험을 시작해 볼까 한다. 생각 실험이니 불가능이란 없다. 실현 가능성은 제쳐두고 논리적으로 그럴듯 한지만 판단해보자.
1초는 caesium 133 원자가 9,192,631,770번 진동하는 시간이라고 잡자. 최근 국제 단위계에서 기준으로 잡은 내용을 차용한 것인데, '실제 저만큼 진동하는걸 어떻게 측정해서 1초가 지났는지 2초가 지났는지 알어?, 1/9,192,631,770초보다 작은 시간은 어떻게 측정할꺼야?' 등은 잠시 접어두자. 그냥 가만히 놔두어도 혼자 빠르게 진동하는 caesium 133이란 놈이 있는데, 신의 영역으로 들어와서 혹은 초능력으로 caesium 133이란 원자 하나가 진동하는걸 하나하나씩 셀 수 있다고 치자. 생각 실험이니까.
1미터는 NaCl(소금)분자 (\(10^{20} \times 10^{20} \times 10^{23}\))개로 완벽한 simple cubic structure, single crystal을 만들어 놓고 절대 0도에서 평형(완벽한 평형)을 이루게 했을때 가장 많은 분자가 늘어선 축의 길이라고 잡자. 여기서도 '\(10^{23}\)개 NaCl분자가 늘어서면 우리가 아는 1미터 되는거 맞아?, NaCl로 single crystal 만들 수 있어?, 이거 진공에다가 놓으면 바깥쪽 분자들부터 날라가는거 아냐?, Si(실리콘)으로 만드는게 좋지 않겠어?' 등의 질문은 잠시 접어두자. 양자역학적으로 접근해야 하는 부분 등도 있겠지만, 모든걸 한꺼번에 생각하면 골치만 아프고 진행되는게 없으니까. 대충 시중에 나와있는 지식들 중에 그럴듯 한 것을 골라 매우 이상적으로 기준을 잡은 것이다. 초능력, 신의 능력이 없다면 저 많은 분자갯수를 언제 세어서 확인하고 또 완벽한 평형이 이루어졌는지는 어찌 확인한단 말인가? 생각실험이니까 가능한 것들이다.
자 이제 A와 B에게 caesium 133 원자 1개씩과 NaCl분자 (\(10^{20} \times 10^{20} \times 10^{23}\))개로 이루어진 single crystal 1개씩을 나눠주고 실험을 시키자. 이 둘을 우주공간 상에 내보내고, 우주에 떠다니는 모든것들을 없애자. 수백억 광년 떨어져 있는 별들을 포함해서 모든걸 없애는거다. 뭐 지금 별을 없애도 수백년, 수백억년 전에 뿜어져 나왔던 빛은 이 둘에게 보일꺼라느니 등의 애매모호함을 없애기 위해 이런 모든 것들이 애초에 없던 그냥 시공간만 있는 우주에 이 둘을 떨어뜨려 놓았다고 생각하자.
'움직인다는건 무엇을 말할까?'란 질문에 '기준을 잡아놓고 움직인다라고 말하면 된다.'라고 생각했던 사람이 있었을 것이다. 'A는 지구라는 행성에 대해서 정지해 있어.', 'B는 태양이라는 별에서 안드로메다 은하로 향하는 방향으로 움직이고 있어.', '우주 전체 물질들의 평균적인 움직임에 비해 우리은하는 이쪽 방향으로 움직이고 있어.' 등 이라고 말할 수 있었을텐데, 이제 이런 기준이 되는 모든것을 없애놓은 상태에서 A와 B를 구분하는 것은 무엇일까?
옛날에는 빛이란 것이 에테르라는 매질을 통해 이동한다고 생각한 적도 있지만, 빛이란 놈이 이런 매질을 통해 전파, 혹은 이동하는것이 아니고 정말 아무것도 없는 진공상태를 이동할 수 있는 것이라고 생각해보자.
{\ccmt // 에테르 같은 것이 있었다면야 A와 B가 이 에테르의 움직임에 대해 어떻게 운동하고 있느냐로 둘을 구분지을수 있었을 것이다. 또한 빛이란게 에테르가 있어야만 전파되는 물질이라면 에테르도 없는 진공상태에서 빛을 가지고 실험한다는 것도 말이 안된다. 따라서 진공상태도 이동할 수 있다는 빛이란 놈을 좀 신기하게 바라봐야 한다. 혹은 당연하게 바라봐야 한다. 뒷부분에 가면 느끼겠지만 이런 놈이 없다면 시간이란걸 엄밀히 정의하기가 참 애매모호해지고 난감해진다.}
A와 B, 둘에게 주어진 시간과 거리에 대한 기준을 가지고 빛의 속도를 측정하라고 했을 때 둘은 어떠한 결과를 가져다 줄까? A는 A에 대해 정지해 있는 NaCl 막대기를 빛이 통과하는 동안 A에 대해 정지해 있는 caesium 133 원자가 몇 번 진동했는지를 측정할 것이고, B는 B에 대해 정지해 있는 NaCl 막대기를 빛이 통과하는 동안 B에 대해 정지해 있는 caesium 133 원자가 몇 번 진동했는지를 측정해서 서로의 결과를 비교한다. 실제로 이렇게 엄밀한, 말도 안되는 실험을 할수있는 것도 아니고 따라서 실제 결과를 보고 둘의 결과가 같다, 다르다를 이야기 할수는 없을것이다. 그냥 논리적으로 이 둘의 결과는 같아야 할까? 달라야 할까?
A와 B를 구분지을수 있는 방법이 없다는 점에서, 둘의 차이점이 전혀 없다는 점에서 이 둘의 결과는 같아야만 한다고 말하고 싶다. 똑같은 기준을 가지고 똑같은 빛이란 것을 측정했으니 같아야만 하지 않을까? 여기서 '정말 A와 B 둘이 나눠 가진 caesium 133 원자 두개가 똑같을 수 있느냐? NaCl 막대기가 똑같을 수 있느냐? 측정한 빛이 똑같은 놈인거냐?'란 질문도 나올수 있지만, 어쩌겠나? A와 B를 구분해 낼 수 없듯이 이것들도 구분해 낼 방법이란게 마땅치 않아 보이니.
이러한 일련의 과정들, 생각들, 생각 실험들, 실제 실험들을 거치다보면, 모든것들을 어떠한 기준에 대해 상대적으로 볼수밖에 없을거라는 결론에 도달하게 된다. 이것이 상대론의 핵심이다. 특히나 시간이나 거리(공간)란 개념도 어떠한 것을 기준으로 상대적으로 봐야 한다. 이 때 가장 그럴듯한 기준이 될 수 있는 것이 진공상태를 이동할 수 있다는 빛처럼 보인다.
// 추가적으로 A와 B가 가지고 있는 시간 1초와 거리 1미터의 기준을 직접 비교할수는 없을지 생각해보자. 서로 이것들을 비교하려면 어떻게 해야할까? 만나서 서로 옆에두고 비교해보면 좋을텐데 둘은 상대적으로 움직이고 있다. 서로 잠시 만나서 기준들을 비교한 뒤 다시 서로 상대적으로 움직여서 실험을 하는 것도 조금은 꺼림칙하다. 둘이 다시 상대적으로 움직이려 할 때, 힘을 줘서 가속운동을 할 때 기준들의 상태가 틀어진다고 생각될수도 있으니까. 서로를 스쳐 지나가는 순간에 어찌저찌해서 비교할 방법도 마땅히 없어보이고.
둘이 서로를 스쳐가는 순간부터 시작해서 각자가 가진 caesium 133 원자가 얼마나 진동했는지를 서로에게 알려줘서 비교하는 방법은 어떨까? 여기서는 서로에게 알려주는 방법을 어떻게 택할것인지가 또 애매모호 해진다. 쪽지에 적어서 날려보내자니 이 쪽지를 받을 즈음에는 당연히 상대방이 더 많은 진동을 봤을것 같고. 빛으로 혹은 전파로 알려주는것도 완벽한 방법은 아닌것처럼 보인다. 빛도 무한대의 속도로 전파되지는 않는다니까.
제 3자 C를 데려와서 비교해달라고 하는 방법도 있을 수 있겠다. C에게도 A와 B에게 나누어 주었던 caesium 133 원자와 NaCl 막대기를 준다. A와 B가 만나는 중간 지점이면서 또한 A와 B가 같은 속도로 다가온다고 측정되는 C에게 양쪽 다 caesium 133 원자가 얼마나 진동했는지를 전파로 쏘고 C가 두 결과값이 같은지를 비교해준다.

같은 시간차이, 같은 거리는 어떻게 알까?

작성중.

Maxwell's equation

\begin{split} &\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho , \qquad \qquad ~~~~ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 , \\ &\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} , \qquad \vec{\nabla} \times \vec{B} = \frac{\vec{J}}{c} + \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} . \end{split} When we set \(c=1\), \begin{split} &\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \rho , \qquad \qquad ~ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 , \\ &\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}} {\partial t} , \qquad \vec{\nabla} \times \vec{B} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} . \end{split}
빛의 속도 일정. Tensor 형태로 Maxwell's equation을 바꾸려면? %그런데 이 과정에서 시간이란 것과 공간이란 것. 가만 생각해보면 무언가 비슷한거 같으면서도 다르다. 우리는 공간상은 자유롭게, 뭐 시간이 지나가면서 이동하는 것이긴 하지만, \(+x\)방향, \(-x\)방향으로 움직일 수 있다. 하지만 시간이라는 것은 항상 현실에만 있는 것처럼 느낀다. 그리고 미래방향으로만 움직인다고 생각된다.

Revisiting vector

Vector를 도입할 때 \(\lambda\)라는 scalar parameter를 도입했는데, 이런 scalar를 도입하기 난감한 경우가 많다. 색을 바꾸면서, 혹은 시간 \(t\)가 바뀌면서 이동한 물체가 아닌, 그냥 선 하나가 공간상에 존재하는 경우. 각 선의 위치마다 색이란걸 구분하기도 힘들고, coordinate independent한 숫자를 붙이기도 난감한 경우 어떻게 해야할까?

Energy-Momentum

작성중.

Density-Flux

작성중. Charge density, Charge flux. Charge conservation. Mass conservation? Energy-Momentum conservation? Curvature Unique?? \(R_{ABCD}\) 마지막 이 수식 때문에 overflow y쪽이 이상해지는데.... 글을 더 삽입하면 사라지겠지?

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  3. Book - A First Course in General Relativity, 1985-02-22, by Bernard F. Schutz.; 처음 상대론을 배울때 쓰면 좋은 교재같음.
  4. Web - Lecture Notes on General Relativity, 1997, by Sean M. Carroll.; 인터넷에서도 볼 수 있어서 좋은 책. Carroll씨가 꽤 유명한듯?
  5. Book - Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Gravity, 1972, by Steven Weinberg.; 잘 정리되어 있는 책같음. 하지만 오래된 책이라서 디자인이나 구성이나 수식 form이 구식인듯한 느낌. (대부분의 유명한 상대론 책들은 고전인듯.)
  6. Book - Gravitation, 1970, by Charles W. Misner, Kip S. Thorne, and John Archibald Wheeler.; 꽤나 두꺼운 책. 유명하긴 한듯? 이것도 오래된 책(고전). Legendary book이라고 칭하는 사람도 있는듯. 제대로 읽은적이 없어서 개인적인 판단은 아직.
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Posted by 냥냥 kipid
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