Second quantization of many-body Quantum mechanics

# Second quantization of many-body Quantum mechanics 작성중인 글... 오래 전부터 정리는 하고 싶었는데, 시간을 못내서 정리 못하고 있던 글.. 이건 언제나 완성할 수 있을래나? =ㅂ=;;; (옛날에 LaTeX 로 정리했던 파일은 잃어버려서 다시 SEE of docuK 로 작성중. 상당히 귀찮구요. 정말로 짜증납니다. 더 깔끔하게 정리하고 싶긴한데... 나중으로 미뤄야지.) Identical (Indistinguishable) particle 들이 모여있을 경우, fully symmetrized 되거나 anti-symmetrized 된다고 알려져 있다. (모여 있다는 건 정확히 무슨 뜻? 같은 우주안에 있으면 다 같이 처리해야함? 아니면 실험으로 다루고 있는 곳에 있는 particle 들만 처리?) ## PH

• 2023-09-26 : Update.
• 2023-06-27 : First posting.

## TOC ## Identical Particles: Indistinguishable

• Fermions: totally anti-symmetric under interchange of any pair.
• Bosons: totally symmetric under interchange of any pair

왜냐구? 이걸 설명하기엔 아직 내 지식이 부족하다;; 대충 이렇다고 하고 무언가를 풀어나가니까 실험들이랑 잘 맞아 떨어졌다고만 개인적으론 이해하고 있다. 대충 왜 두가지 type 이 있는지 정도만 간략히 보자. Particle 을 바꾸는 것에 대한 eigenstate 일 경우, 두번 바꾸면 원래대로 돌아와야 하므로 가질 수 있는 eigenvalue 는 \pm 1 뿐이다. 따라서 Fermion 과 Boson 두가지 type 의 particle 들만이 존재한다. (왜 Many-body state 는 항상 Particle exchange 의 eigenstate 에 있어야 할까? Indistinguishable 이라서?) ## Spin 또 한가지 대충 들어 알고 있는 사실: Fermion 들의 spin 은 half-integer 이고, Boson 들의 spin 은 integer 란다. 이 이유는 상대론과 양자역학을 대충 합치는 이론쪽 (Quantum Electro Dynamics?) 으로 가면 자연적으로? 설명이 가능하다고 하던데... 이걸 공부해보면 알 수 있겄지? 양자역학도 완전한 감을 못잡고 있어서 완벽히? 이해할거 같진 않지만;;; ## Permutation (치환) 왜 그럴까에 대한 의문은 대충 띄어넘어 가고 위 사실을 식으로 봐보자. 우선 Fermion, Boson 의 Many-body state 는 어떻게 표현하고 다뤄야 할까? 이들의 Indistinguishable 은 어떻게 처리해야 할까? 우선 single particle state 를 잘 조합해서 써야할거 같긴한데, indistinguishability 와 distinguishability 를 구분/비교해 내려면 각 particle 들에 1,2,3,4... 등의 label 을 붙여서 direct product 로 표현하는 것이 좋아보인다. |i\rangle \otimes |j\rangle \otimes |k\rangle ... 순서대로 1번 particle 이 i state 에 2번 particle 이 j state 에 3번 particle 이 k state 에 ... 있다는 뜻이다. 이제 m번 particle 과 n번 particle 을 바꾸는 경우를 생각해보자. 처음부터 너무 멀리가진 말고 particle 두개만 생각하면 이런 particle exchange 에 대한 eigenstate 는 다음과 같이 표현될 것이다. \begin{align*} \text{Fermions:} ~~ \hat{P}_{1,2} |\Psi\rangle &= - |\Psi\rangle, ~~ \text{(ex)} ~ |i\rangle |j\rangle - |j\rangle |i\rangle \\ \text{Bosons:} ~~ \hat{P}_{1,2} |\Psi\rangle &= + |\Psi\rangle, ~~ \text{(ex)} ~ |i\rangle |j\rangle + |j\rangle |i\rangle \end{align*} ## Introducing creation and annihilation operators Fermion 의 경우 어떠한 두 particle 의 exchange 에 대해서도 eigenvalue 가 -1 이 나와야 하고, Boson 의 경우는 +1 이 나와야 한다. 자동적으로 이러한 성질을 만족하도록, introducing creation (and it's Hermitian conjugate annihilation) operators, \zeta=-1 for fermions, \zeta=+1 for bosons) \begin{align*} \hat{a}_{i}^{\dagger} = &|i\rangle \langle 0| + \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_k \Big[ |i\rangle |k\rangle + \zeta |k\rangle |i\rangle \Big] \langle k| \\ & ~ + \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{k,l} \Big[ |i\rangle |k\rangle |l\rangle + \zeta |k\rangle |i\rangle |l\rangle + \zeta^2 |k\rangle |l\rangle |i\rangle \Big] \langle k| \langle l| + \cdots \end{align*} with completeness relation (of single state) \sum_k |k\rangle \langle k| = 1 and vacuum state |0\rangle. Therefore \hat{a}_{i}^{\dagger} \hat{a}_{i}^{\dagger} \hat{a}_{i}^{\dagger} \cdots |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{l,m,n,\cdots} \epsilon_{l,m,n,\cdots}^{(i,j,k,\cdots)\pm} |l\rangle |m\rangle |n\rangle \cdots where \epsilon_{l,m,n,\cdots}^{(i,j,k,\cdots)\pm} = \begin{cases} (\pm 1)^{\#} & \text{when } l,m,n,\cdots \text{ are #-th permutation of } (i,j,k,\cdots) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} and Commutation relations becomes ([\hat{A}, \hat{B}]_{\zeta} = \hat{A}\hat{B} - \zeta \hat{B}\hat{A}) [\hat{a}_{i}^{\dagger}, \hat{a}_{j}^{\dagger}]_{\zeta} = 0, ~~~ [\hat{a}_{i}, \hat{a}_{j}]_{\zeta} = 0, ~~~ [\hat{a}_{i}, \hat{a}_{j}^{\dagger}]_{\zeta} = \delta_{ij} ## Many things become Counting problems. In Second Quantization, many things become Counting problems. \hat{n}_i \equiv \hat{a}_{i}^{\dagger} \hat{a}_{i} Many-body Hamiltonian (with two-body interaction) is generally written by \hat{H} = \sum_{i,j} \hat{a}_{i}^{\dagger} \langle i| \hat{H}_{\text{trap}} |j\rangle \hat{a}_{j} + \frac{1}{2} \sum_{i,j,k,l} \hat{a}_{i}^{\dagger} \hat{a}_{j}^{\dagger} \langle i| \langle j| \hat{V}_{\text{int}} |l\rangle |k\rangle \hat{a}_{k} \hat{a}_{l} where \hat{H}_{\text{trap}} is a single-particle Hamiltonian operator and \hat{V}_{\text{int}} is a two-body interaction operator. \begin{align*} &\hat{H}_{\text{trap}} | E_n \rangle = E_n | E_n \rangle \\ &\langle \vec{r}_i | \langle \vec{r}_j | \hat{V}_{\text{int}} |\vec{r}_l \rangle |\vec{r}_k \rangle = V_{\text{int}} (\vec{r}_i , \vec{r}_j) \delta^3 (\vec{r}_i - \vec{r}_l) \delta^3 (\vec{r}_j - \vec{r}_k ) \end{align*} ## Comments (마치며...) Single-particle 의 Harmonic Oscillators 에서 힌트를 얻고 Second Quantization 으로 발전시킨걸로 아는데, 자세한 역사는 잘 모르겠음. Two-body interaction 이 어떻게 Second Quantization form 으로 표현될 수 있는가가 핵심인데, 이걸 제대로 설명을 여긴 안해놨음;;;; 귀찮아서 나~~~~ 중에나 정리할듯. 딴 책들 참고 하세요. 또한 이 방정식은 변수도 무한개에다가 너무나 복잡스러워서 완벽히 풀기란 아주 간단한 경우를 제외하곤 거의 불가능에 가까운데 어떻게 변수들을 잘라내야 하고 또한 그 잘라내어 놓고 푼 방정식이 실제 방정식과 얼마나 차이가 나는지 (error 가 있는지) 등을 모니터링 하면서 i \hbar \frac{\partial}{\partial t} | \Psi \rangle = \hat{H} | \Psi \rangle dynamics 를 푸는 방법에 관한 논문은 를 참조하세요. (제가 낸 논문임.) ## RRA

1. Chapter 2 - Second Quantisation (pdf file)
   // 나도 이 책 보고 공부한거 같은데, 책 이름을 까먹었네;;;; 아무튼 책에 더 자세히 잘 설명되어 있으니 참고하세요.
   // Condensed Matter Field Theory, by Alexander Altland and Ben Simons (이 책 같음.)
2. Truncated many-body dynamics of interacting bosons: A variational principle with error monitoring, by kipid