# Sturm-Liouville and Completeness Theory
테일러 전개나 FT (Fourier Transformation), FS (Fourier Series) 이 왜 가능할 수 있는지 이해하는데 필요한 이론. 특히나 왜 어느정도 전개한 다음 뒷부분을 무시해도 원래 함수를 그럴듯하게 묘사할 수 있는건지 이해하려면 필요.
## TOC
## Sturm-Liouville theory
### 특수식 형태로의 변형
모든 2차 선형 상미분 방정식 (the second order linear ordinary differential equation) 의 해를 예측할 수 있는 스투름-리우빌 이론에 대해 알아보자.
일반적인 2차 선형 상미분 방정식 (the second order linear ordinary differential equation) 은 다음과 같이 표현 가능하다.
\frac{d^2 y}{d x^2} + P(x) \frac{d y}{d x} + Q(x) y = 0
이 식을 조금 다듬어서 다음과 같은 특수식 형태로 표현 해보자.
\frac{d}{d x} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] - q(x) y + \lambda r(x) y = 0
위 식을 전개해서 일반식 과 계수비교를 통해 맞춰보면,
p(x) \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{d p}{d x} \frac{dy}{dx} - q(x) y + \lambda r(x) y = 0
p(x) \frac{d^2 y}{d x^2} + p(x) P(x) \frac{d y}{d x} + p(x) Q(x) y = 0
결론적으로
p(x) P(x) = \frac{d p}{d x}
p(x) Q(x) = -q(x) + \lambda r(x)
즉,
p(x) = e^{\int P(x) dx}
-q(x) + \lambda r(x) = e^{\int P(x) dx} Q(x)
형태로 $p(x), q(x), r(x)$ 을 잡으면 특수식 형태로 나타날 수 있게 된다.
여기서 $r(x)$ 는 x 의 regine of interest 에서 항상 0 보다 큰 함수로 잡는다. 즉, $r(x) \geq 0$.
아래 예제들을 보면서 어떻게 2차 선형 상미분 방정식 (the second order linear ordinary differential equation) 을 특수식 형태로 바꿀 수 있는지 더 알아보자.
#### Harmonic : $\sin, \cos$
y'' = - \omega^2 y
을 변형하면,
[ y' ]' + \omega^2 y = 0
#### Bessel equation
x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0
를 변형하면,
(x y')' + (x - \frac{\nu^2}{x}) y = 0
#### Legendre equation
(1-x^2) y'' - 2 x y' + \nu (\nu+1) y = 0
을 변형하면,
[ (1-x^2) y' ]' + \nu (\nu+1) y = 0
#### 일반식 예제
\begin{align*}
&x^3 y'' - x y' + 2 y = 0 \\
&y'' - \frac{1}{x^2} y' + \frac{2}{x^3} y = 0 \\
&e^{1/x} y'' - \frac{e^{1/x}}{x^2} y' + \frac{2 e^{1/x}}{x^3} y = 0 \\
&[e^{1/x} y']' + \frac{2 e^{1/x}}{x^3} y = 0
\end{align*}
### Linear operations
미분연산이 linear operation 인 것 ($L (\alpha y_1 + \beta y_2) = \alpha L (y_1) + \beta L (y_2)$) 을 바탕으로 다음과 같은 형태로 식을 바라볼 수 있다.
L (y) = \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] - q(x) y + \lambda r(x) y = 0
D (y) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{dy}{dx} \bigg] + q(x) y = \lambda r(x) y
where $\lambda$ is called eigenvalue.
또한 특정한 $\lambda_m$ 에 대한 함수를 $\psi_m$ 으로 정의하면,
D (\psi_m) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{d\psi_m}{dx} \bigg] + q(x) \psi_m = \lambda_m r(x) \psi_m
과 같은 식을 만족한다.
### Initial or Boundary condition
\begin{align*}
&\alpha y (a) + \alpha' \frac{d y}{d x} (a) = 0 \\
&\beta y (b) + \beta' \frac{d y}{d x} (b) = 0
\end{align*}
### Self-adjointness (자기 수반성 : 自己 隨伴性)
\int_a^b \psi_m (x) D \psi_n (x) dx
= \int_a^b \psi_n (x) D \psi_m (x) dx
증명) 를 이용해서 다음을 전개하면,
\begin{align*}
&\psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x) \\
&= - \psi_m (x) \bigg[ \frac{d}{dx} \Big[ p(x) \frac{d \psi_n}{dx} \Big] \bigg]
+ \psi_n (x) \bigg[ \frac{d}{dx} \Big[ p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \Big] \bigg]
\end{align*}
미분의 분배법칙을 이용해서 더 정리하면,
\begin{align*}
&= \frac{d}{dx} \bigg[ - \psi_m (x) p(x) \frac{d \psi_n}{dx} \bigg] + \frac{d \psi_m}{dx} p(x) \frac{d \psi_n}{dx} \\
&~~~+ \frac{d}{dx} \bigg[ \psi_n (x) p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \bigg] - \frac{d \psi_n}{dx} p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \\
&= \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \Big( \psi_n (x) \psi_{m}' (x) - \psi_m (x) \psi_{n}' (x) \Big) \bigg]
\end{align*}
Wronskian 을
\begin{align*}
W [ \psi_n (x), \psi_m (x) ] &\equiv
\begin{vmatrix}
\psi_n (x) & \psi_m (x) \\
\psi'_n (x) & \psi'_m (x)
\end{vmatrix} \\
&= \psi_n (x) \psi_{m}' (x) - \psi_m (x) \psi_{n}' (x)
\end{align*}
과 같이 정의해서 쓰자면,
\psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x)
= \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) W [ \psi_n (x) , \psi_m (x) ] \bigg]
즉,
\begin{align*}
&\int_a^b \bigg[ \psi_m (x) D \psi_n (x) - \psi_n (x) D \psi_m (x) \bigg] dx \\
&= p(x) W [ \psi_n (x) , \psi_m (x) ] \bigg|_{a}^{b} \\
&= p(b) W [ \psi_n (b) , \psi_m (b) ] - p(a) W [ \psi_n (a) , \psi_m (a) ] = 0
\end{align*}
For non-trivial $(\alpha, \alpha')$ and $(\beta, \beta')$, Wronskian must be 0 at both boundaries. 따라서 식 이 만족하는걸 알 수 있다.
### Orthogonality (직교성 : 直交性)
\int_a^b \psi_m (x) \psi_n (x) r(x) dx = 0, \text{ when } m \neq n
증명) From and
\begin{align*}
&\int_a^b \psi_m (x) D \psi_n (x) dx
- \int_a^b \psi_n (x) D \psi_m (x) dx \\
&= \int_a^b \psi_m (x) \psi_n (x) r(x) (\lambda_n - \lambda_m) dx = 0
\end{align*}
따라서 \lambda_n \neq \lambda_m 일때에는
\int_a^b \psi_m (x) \psi_n (x) r(x) dx = 0
이어야 한다.
Fourier series 의 일반화가 Sturm-Lioville theory 라 할 수 있다.
### 고유치는 실수 (Reality of eigenvalue)
D( \psi_m ) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{d \psi_m}{dx} \bigg] + q(x) \psi_m (x) = \lambda r(x) \psi_m (x)
$D = D^*$ 이므로
D^* ( \psi_m^* ) = - \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) \frac{d \psi_m^*}{dx} \bigg] + q(x) \psi_m^* (x) = \lambda^* r(x) \psi_m^* (x)
따라서
\begin{align*}
&\int_a^b \Big[ \psi_m^* D \psi_m - \psi_m D \psi_m^* \Big] dx \\
&= \int_a^b \Big[ |\psi_m|^2 \lambda_m r(x) - |\psi_m|^2 \lambda_m^* r(x) \Big] dx \\
&= \int_a^b |\psi_m|^2 r(x) (\lambda_m - \lambda_m^*)
\end{align*}
$r(x) \geq 0$ 이고, $|\psi_m|^2 > 0$ 이므로, $\lambda_m = \lambda_m^*$ 란 결론에 도달한다.
### 아벨의 정리 (Abel's theorem) : 함수 행렬식은 상수 (constant Wronskian)
p (x) W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \text{constant for } \lambda_m = \lambda_n
증명) 식 와 를 이용하면,
\begin{align*}
&\psi_m (x) D \psi_n^* (x) - \psi_n^* (x) D \psi_m (x)
= \frac{d}{dx} \bigg[ p(x) W [ \psi_n^* (x) , \psi_m (x) ] \bigg] \\
&= \psi_m (x) \lambda_n^* r(x) \psi_n^* (x) - \psi_n^* (x) \lambda_m r(x) \psi_m (x) \\
&= \psi_m (x) \psi_n^* (x) r(x) (\lambda_n^* - \lambda_m)
\end{align*}
고유치는 실수이므로 따라서 $\lambda_n = \lambda_m$ 일때에는 식 가 만족하게 된다.
### 해의 유일성 (uniqueness of solutions)
고유치가 동일하면 경계 조건을 만족하는 고유 함수들은 상수배만 차이난다.
증명) 동일한 고유치 $\lambda$ 에 대해 서로 다른 고유 함수 $\psi_m, \psi_n$ 이 존재한다고 가정하자. 고유치가 동일하기 때문에 식 의 아벨 정리를 사용할 수 있다. 여기서 constant 는 에 의해 0 이됨을 알 수 있다. 즉,
p (x) W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \text{0 for } \lambda_m = \lambda_n
따라서
\frac{\psi'_n (x)}{\psi_n (x)} = \frac{\psi'_m (x)}{\psi_m (x)}
결론적으론
\psi_n (x) = c \cdot \psi_m (x)
임을 알 수 있다.
### 두번째 해 (the second solution)
$\psi_m, \psi_n$ 의 경계조건이 같다면 위와같은 결론이 나오지만, 경계조건이 다르다면 따로 로부터 두번째 해를 구해야 한다.
\begin{align*}
&W [ \psi_m (x), \psi_n^* (x) ] = \frac{\text{constant}}{p (x)} \\
&\rightarrow \psi_m^2 (x) \bigg[ \frac{\psi'_n (x)}{\psi_m (x)} - \psi_n (x) \frac{\psi'_m (x)}{\psi_m^2} \bigg] = \psi_m^2 (x) \frac{d}{dx} \bigg[ \frac{\psi_n (x)}{\psi_m (x)} \bigg]
\end{align*}
\psi_n (x) = \psi_m (x) \bigg[ \int_a^x \frac{dt}{p(t) \psi_m^2 (t)} + c \bigg]
### 레일리 몫 (Rayleigh quotient)
### 스투름의 분리 정리 (Sturm's separation theorem)
### 스투름의 비교 정리 (Sturm's comparison theorem)
### 스투름의 진동 정리 (Sturm's oscillation theorem)
## 고유함수의 완비성 (completeness of eigenfunctions)
## RRA